Usted trabaja para constructora Sambil. La semana pasada el capataz y los obreros rompieron la guaya de la torre grúa, ellos informan que colocaron una carga de 1500 kg y que la información técnica de la guaya anterior indicaba que la guaya soportaba 1700 kg en equilibrio, sin embargo, la guaya se rompió en el preciso instante que levantaban la carga. Ellos no se explican cuál fue el motivo de este accidente.
Su jefe quiere adquirir una nueva guaya, los suplidores le indican que disponen de guayas que soportan como máximo desde: 1530 kg hasta 2550 kg. Los suplidores indican que ellos prueban un pedazo de la guaya a suministrar en sus almacenes, fijando la guaya al techo y colocándole carga hasta que se rompe.
La grúa puede movilizar la carga en rangos de aceleración desde 1 mts/seg2 hasta los 2.5 mts/seg2.
Su jefe no quiere volver a invertir en otra guaya, en consecuencia, él le solicita a usted que elabore un programa que determine, la cantidad máxima de material que puede subir la grúa y la cantidad máxima de material que puede bajar.
Pista: Recuerde cuando la carga asciende en aceleración constante, la carga se hace más pesada y cuando desciende en el mismo escenario es menos pesada.
Los únicos datos que se ingresarán al programa corresponderán a
a.- La cantidad de masa en Kg. que soporta la guaya adquirida según lo indicado por el fabricante.
b.- Aceleración de subida/bajada de la grúa.
El programa deberá indicar:
a.- Cantidad máxima de material que puede subir la grúa (kg)
b.- Cantidad máxima de material que puede bajar la grúa (kg)
Nota: para todo cálculo requerido use gravedad de 9.8 mts/seg2.
SOLUCIÓN
El fabricante nos indica con cuanta masa se rompe la guaya en equilibrio, por lo tanto, recordemos que: en equilibrio la aceleración es cero (No hay movimiento).
Recordemos que la sumatoria de fuerzas = masa x aceleración (∑ fuerza =ma)
En el caso del fabricante la ecuación donde el chequea la guaya sería:
∑ fuerzas = m x 0 => Tensión - Peso= 0
Si establecemos el diagrama de cuerpo libre del sistema, no queda:
por lo tanto, T=mg, o sea que la masa que nos indica el fabricante es m=T/g y este es el valor en donde se rompe la guaya. Lo que hace el fabricante es un error, el no debe indicar con cuanta masa se rompe la guaya en equilibrio, el debería indicar con cuanto peso (vector de fuerza - Tensión)
Veamos el caso que generó el estudio, el fabricante indico que ese valor era 1700 kg. En pocas palabras la guaya se rompe cuando se le aplica un peso (vector de fuerza - Tensión) de 1700 kg x 9.8 mts/seg2 o sea un peso de 16660 newtons. La etiqueta del fabricante no debería indicar que el limite de su guaya es de 1700 kg de masa en equilibrio, debería indicar que el límite es de 16660 newtons (Para cualquier escenario).
Como la guaya no trabaja en equilibrio sino en movimiento, la aceleración afecta a la guaya de dos maneras:
(1) En subida le aumenta el peso (vector de fuerza - Tensión) que sostiene la guaya durante la aceleración.
(2) En bajada le disminuye el peso (vector de fuerza - Tensión) que sostiene la guaya durante la aceleración.
Nota: Recuerde el fabricante indica masa lo cual es un error debería indicar tensión limite, para el caso original (16660 Newtons).
Estudiemos el caso de la subida de material, entendiendo que la guaya está a punto de romperse, o sea, trabajando en su tensión limite previamente determinada en el equilibrio.
Tlimite - mg = ma (Como está en subida se considera la aceleración positiva)
Por lo tanto, si trabajamos la ecuación nos queda lo siguiente.
Tlimite = ma + mg => Tlimite = m(a + g) => m = Tlimite / (a + g)
Ahora estudiemos el caso de la bajada de material, entendiendo que la guaya está a punto de romperse, o sea, trabajando en su tensión limite previamente determinada en el equilibrio.
Tlimite - mg = -ma (Como está en bajada se considera la aceleración negativa)
Por lo tanto, si trabajamos la ecuación nos queda lo siguiente.
Tlimite = -ma + mg => Tlimite = m(g - a) => m = Tlimite / (g-a).
Volvamos nuevamente el caso de estudio, esto pudo suceder subiendo carga o bajando carga, analicemos si el incidente ocurrió en el descenso de la carga:
1500 kg = 16660 newtons / (9.8 – a) mts/seg2 , para que esto suceda la aceleración debió ser: a = 9.8 mts/seg2 – 16660 newtons/1500 kg => a= - 1.31 mts/seg2 (aprox). Como se aprecia el resultado es negativo, como se aprecia en el estudio el resultado negativo nos indica que la guaya se fracturo en subida, no en descenso.
Confirmemos la conclusión anterior evaluando el caso cuando estamos levantando 1500 kg material:
1500 kg = 16660 newtons / (9.8 + a) mts/seg2, para que esto suceda la aceleración debió ser: a = 16660 newtons/1500 kg - 9.8 mts/seg2 => a= 1.31 mts/seg2. En pocas palabras la guaya se rompió al subir la carga con una aceleración superior a los 1.31 mts/seg2. Como se trabajó por encima del peso máximo permitido 16600 newtons la guaya se fracturó, era necesario que el operador de la grúa trabajara con aceleraciones bajas lo cual es muy difícil de controlar con un acelerador manual.
PARA DETERMINAR EL LIMITE SEGURO DE MATERIAL QUE PODEMOS TRANSPORTAR DEBEMOS HACER LOS CÁLCULOS CON LA MAXIMA ACELERACIÓN POSIBLE. NO PODEMOS CONFIAR EN LA PRECISIÓN DEL OPERADOR DE LA TORRE GRUA A LA HORA DE FIJAR UNA ACELERACIÓN, RECUERDE QUE ESTO SE HACE CON UN ACELERADOR MANUAL.
la máxima carga que podíamos levantar, para la guaya anterior de 1700kg, basta con calcular m = Tlimite / (a + g) con el peor escenario de aceleración 2.5 mts/seg2, en consecuencia m= 16660 newtons/(9.8+2.5) mts/seg2 => m= 1354.47 kg (Aproximadamente).
Si queremos saber cuál es la máxima carga que podemos bajar, para la guaya anterior de 1700kg, necesitaríamos calcular la masa m = Tlimite / (g - a) con el peor escenario de aceleración 2.5 mts/seg2, en consecuencia m= 16660 newtons/(9.8-2.5) mts/seg2 => m= 2282.19 kg (Aproximadamente).
Si trabajamos con aceleración inferior a 2.5 mts/seg2 la cantidad de masa que se puede transportar aumenta, pero dependemos de la precisión del operador de la torre grúa, lo cual es muy riesgoso, sin embargo, como para bajar carga primero debemos levantarla se recomienda trabajar con valores de masa inferior al límite de subida.
PROGRAMA
/* Programa para determinar la carga máxima
que puede subir y bajar una torre grúa basado en
el peso máximo que soporta la guaya según las
pruebas en estado de equilibrio del fabricante
(1530 a 2550 kg) y el rango de aceleración de la
grúa (1 a 2.5 mts/seg2)
Elaborado: Por Carlos Ferrer
Rev. mayo 2023
*/
#include <iostream>
#include <windows.h>
#include <locale.h>
using namespace std;
main()
{
double ms; //máxima carga en subida sin riesgo de romper la guaya
double mb; //máxima carga en subida sin riesgo de romper la guaya
double m; //máxima masa determinada por el fabricante en estado de equilibrio
double a; //valor máximo de aceleración de la torre grúa
setlocale(LC_ALL,"spanish");
//Ingresamos los datos
do
{
cout <<"Ingrese máxima masa determinada por el ";
cout <<"fabricante en estado de equilibrio (1530 a 2550 kg) = ";
cin >>m;
if (m<1530 or m>2550)
{
cout <<endl<<"Valor ingresado invalido!! "<<endl;
Sleep(250);
Beep(250,250);
system("cls");
}
}
while (m<1530 or m>2550);
do
{
cout <<"Ingrese valor máximo de aceleración de la grua ";
cout <<"cable (mts/seg2) = ";
cin >>a;
if (a<0)
{
cout <<endl<<"Valor ingresado invalido!! "<<endl;
Sleep(250);
Beep(250,250);
system("cls");
}
}
while (a<0);
//Calculamos la data requerida
ms=m*9.8/(9.8+a);
//Presentamos los resultados
system("cls");
cout <<"Para una capacidad máxima en equilibrio de "<<m<<" kg ";
cout <<"y una aceleración máxima de "<<a<<" mts/seg2, la grúa"<<endl;
cout <<"podrá levantar una carga máxima de "<<ms<<" kg y podrá ";
cout <<"descender una carga máxima de "<<ms<<" kg."<<endl;
cout <<"Dado que para descender primero debes levantarla."<<endl<<endl;
cout <<"¡¡¡¡TODO ESTO SIN RIESGO DE ROMPER LA GUAYA!!! "<<endl<<endl;
system("pause");
}
La guaya anterior se rompió debido a que levantaron una carga de 1500 kg, basado en el análisis previo lo recomendable era no colocar cargas superiores a 1354.47 kg dado que al operar la grúa cerca del limite máximo de aceleración (2.5 mts/seg2) generaría la ruptura de la guaya.
Para este caso el operador de la grúa aceleró la misma por encima de 1.31 mts/seg2 lo cual generó una tensión de mas de 16660 newtons en la guaya generando el incidente
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