01.- Programación II - Parcial Nro. 1 - Semestre 2025-II - Solución del Profesor

 

Solución

El primer paso es definir la fórmula de volumen de la piscina que corresponde a lo que queremos maximizar:

para eso descomponemos las figuras en dos: un paralelepípedo y una cuña,

En consecuencia, el volumen de la piscina corresponde a:

Vol = XY mt³  + XY mt³ => Vol = 2XY mt³

La ecuación de Volumen quedó en función de dos variables, necesitamos que quede en función de una sola.

 

Como conocemos la cantidad de material que tendremos para construir el fondo y las paredes de la piscina podemos establecer lo siguiente:

 

M = Material para construir

M = Área del fondo + Área de las 4 paredes =>

M = (XY + 3Y + [X+2X/2] + [X+2X/2] + Y) mt² =>

M = (XY + 4Y + 2X + 2X) mt² =>

M = (XY + 4Y + 4X) mt²

 

Conociendo esto podemos expresar una variable en función de la otra:

X = (M - 4Y) / (Y+4) mt

En consecuencia, el volumen correspondería a:

Vol = 2Y (M-4Y) / (Y+4) mt³

La ecuación también la podemos expresar como

Vol =(2MY – 8Y²) / (Y+4) mt³

 

Para hallar el valor de Y en donde el Volumen se hace máximo derivamos el volumen con respecto a Y y lo igualamos a cero dvol/dy=0, luego despejamos Y. 

 

dvol/dy=0 =>

[(2M – 16Y) (Y+4) – (2MY –8Y²)] / (Y+4)² = 0

 

El denominador del lado izquierdo pasa al otro lado multiplicando y se cancela, en consecuencia, la ecuación quedaría:

 

2MY + 8M – 16Y² – 64Y – 2MY + 8Y² = 0 =>

-8Y² – 64Y + 8M = 0 => -8 (Y²+8Y-M) = 0 =>

El -8 pasa al otro lado dividiendo y la ecuación nos queda:

 

Y²+8Y-M = 0, al resolver la ecuación de 2do grado y dado que los valores de M están entre 2000 y 2500 mt² se puede apreciar que una de las raíces nos quedará positiva y la otra negativa por lo que descartamos la repuesta negativa dado que no hay distancias negativas.

 

Al tener Y, sustituimos este valor en

 

X = (M - 4Y) / (Y+4) mt

Y obtenemos X,

 

Ahora procedemos a elaborar el programa.

/* Este programa calcula las dimensiones de ancho y largo de

la piscina de forma de obtener el máximo volumen posible con el

material suministrado (parcial 1 semestre 2025-II)

Elaborado por Carlos Ferrer

fecha: 2 de Abril de 2025

rev : 1

*/

#include<iostream>

#include<math.h>

#include<iomanip> //Biblioteca para imprimir sin notación científica

#include<locale.h>

using namespace std;

main()

{

double X,Y=0; //Largo y Ancho a calcular

double M; //Cantidad de material donado

float litros; //Capacidad en litros de la piscina

setlocale(LC_ALL, "spanish");

do

{

cout <<"Favor ingrese la cantidad de material donado en mts2 (2000-2500) = ";

cin >>M;

if (M<2000 or M>2500)

{

cout <<"dato incorrecto = "<<M<<endl;

system("pause");

system("cls");

}

}

while(M<2000 or M>2500);

//Calculamos Y y X

Y=(-8+sqrt(pow(8,2)-4*(-M)))/2;

X=(M-4*Y)/(Y+4);

litros=2*X*Y*1000;

//Presentamos los resultados

cout <<endl<<"El largo de la piscina es de "<<Y<<" mts y"<<endl;

cout <<"el ancho de la piscina es de "<<X<<" mts."<<endl<<endl;

cout <<"El volumen es de "<<2*X*Y<<" mts3 (";

cout <<setprecision(2) << fixed <<litros<<" Litros)"<<endl<<endl;

cout <<"Para que la piscina tenga máximo volumen el fondo debe ser cuadrado!!!"<<endl<<endl;

system("pause");

}

Resultados